Магический квадрат очень популярен среди любителей головоломок. Представляет собой таблицу, заполненную числами особым образом. При этом сумма чисел одинакова во всех направлениях. Это значение называется константой. Существует множество вариантов этих головоломок с разной степенью сложности.
История и современное применение
Первые таблицы такого типа использовались в Древней Греции и Китае. Это подтверждают археологические находки. Арабы называли квадраты магическими, потому что верили, что они обладают магическими свойствами и могут защитить от многих зол.
В середине 16 века вопрос о том, как работает магический квадрат, привлек внимание математиков Европы. Они активно занялись исследованием загадочных комбинаций чисел. Ученые попытались вывести общие принципы построения квадрата и найти полный набор возможных вариантов.
Сегодня на уроках математики в средней школе используются различные типы магических квадратов. Они способствуют развитию логического мышления и вызывают большой интерес у детей.
С ее помощью студенты учатся планировать и контролировать свою работу. В ячейки можно вводить не только отдельные числа, но и математические выражения. Задания по этой теме часто предлагаются на математических олимпиадах. Эти типы числовых задач также можно решить онлайн.
Квадрат нечётного порядка
Среди простых магических квадратов в математике есть варианты четного и нечетного порядка. Первая группа делится на таблицы с одинарной и двойной четностью.
Первым шагом во всех случаях является определение магической константы. Делается это по специальной формуле [n*(n2+1)]/2. Для понимания принципа решения этой задачи можно использовать простейший пример. Вы создаете таблицу из 9 ячеек. Вам нужно расставить числа от 1 до 9. Дополнительный алгоритм:
- Вычисляется сумма, которая должна быть получена для каждой строки. Для этого используется формула: 3*(32+1)/2=3*10/2. Ответ будет номер 15.
- Числа в ячейках расположены таким образом, что в сумме в каждом ряду они составляют 15. Требуется смекалка и фантазия.
- 1 вводится в среднюю ячейку верхней строки.
- Каждое последующее число ставится по диагонали вверх вправо. Цифру 2 поставить нельзя, потому что над ней нет рядов. Если вы мысленно добавите еще один квадрат сверху, цифра 2 будет помещена в правый нижний угол. Таким образом, цифра 2 помещается в нижнюю правую ячейку.
- Таким же образом вводится цифра 3. Она ставится в среднюю ячейку слева.
- Если запрашиваемая ячейка уже занята, следующий символ вводится ниже предыдущего. Так что 4 меньше 3.
- Цифра 5 пишется по диагонали вправо и вверх, а 6 – в правом верхнем углу.
- Поскольку номер 7 уже занят, он соответствует номеру 6.
- В левом нижнем углу цифра 8.
- Оставшаяся ячейка занята девятью.
Общий алгоритм задачи таков: каждый следующий символ записывается вверх и вправо. Если ячейка отсутствует, рисуется еще один воображаемый квадрат. Если ячейка занята, номер сохраняется под предыдущим. Таким образом можно нарисовать любой квадрат нечетного ряда, даже самого сложного, с большим количеством клеток.
Одинарная чётность
Магические квадраты могут иметь одинарную или двойную четность. Для каждого случая существует отдельная методика расчета. Для таблиц с одинарной четностью количество ячеек в строке или столбце уменьшается вдвое, но не делится на четыре. Наименьший квадрат, удовлетворяющий этому требованию, — прямоугольник 6 × 6. Невозможно построить и заполнить фигуру 2х2.
Вычисление магической константы
Первый шаг вычисляется по формуле [n*(n2+1)]/2, где n — количество ячеек в строке. Если взять в качестве примера квадрат 6х6, то расчет будет [6 х (36 + 1)]: 2 = (6 х 37): 2 = 222: 2.
Магическая константа прямоугольника со стороной 6 квадратов равна 111. Сумма чисел от 1 до 36 в каждом ряду и в разных направлениях должна быть 111.
Фигура разделена на 4 одинаковые части. В каждой будет по 9 ячеек (3х3). Каждая часть маркируется латинскими буквами: A — вверху слева, C — вверху справа, D — внизу слева и B — внизу справа. Если квадрат другого размера, разделите n на 2, чтобы найти точный размер каждой из 4 частей.
Дальнейшие действия
Следующим шагом будет запись ¼ всех чисел в каждой части. Числа от 1 до 9 вписываются в квадрат А, от 10 до 18 в квадрат В, от 19 до 27 в часть С и от 28 до 36 в часть D.
Порядок написания такой же, как и при заполнении самого простого нечетного квадрата:
- Минимальное число, с которого начинается заполнение ячеек, всегда помещается в верхний ряд посередине. Для каждой части эта ячейка размещается отдельно.
- Каждая часть заполняется как новый математический объект. Даже если в другом квадрате есть пустое место, оно в этих случаях игнорируется.
В блоках A и D на этом этапе решения сумма строк и столбцов будет отличной от постоянной. Чтобы исправить это, некоторые числа меняются местами друг с другом.
- Должен начинаться с крайней левой ячейки в верхней строке. Если фигура имеет размеры 6х6, то следует выделить только первую верхнюю строку части А. Впишите в нее число 8. Если таблица имеет размеры 10х10, то следует выделить первые 2 ячейки верхней строки. Им 17 и 24 года.
- Из выбранных ячеек создается промежуточный квадрат. В таблице размером 6×6 строк и столбцов она будет состоять из 1 ячейки. Его условно обозначают как A1.
- Если размер 10 × 10, выбираются первые 2 ячейки в верхней строке. Вместе с ними выделяются еще 2 клетки, на второй линии получается область из 4 соседних друг с другом клеток.
- В следующей строке пропускается первая ячейка, а затем выбирается столько ячеек, сколько было в промежуточной таблице A1. Полученное число можно обозначить как A2.
- Таким же образом строится промежуточный квадрат A3.
- Эти 3 промежуточные формы образуют выбранную область А.
- Затем они переносятся в квадрант D и образуют отдельную область D.
Числа, которые были вписаны в выбранные треугольники A и D, следует поменять местами. Тогда сумма в каждой строке должна быть одинаковой. Он равен расчетной магической константе.
Двойной порядок
Если головоломка имеет двойной порядок четности, разделите количество клеток в каждой горизонтальной строке или вертикальном столбце на 4. Минимальная фигура с этими свойствами будет таблицей 4 × 4.
Решение магических квадратов с двойной четностью следует тому же алгоритму, что и другие. Первым шагом в заполнении является вычисление магической константы. Используется та же формула, что и для других квадратов. Для фигуры со стороной 4 клетки значение константы будет равно 34.
Промежуточные столы располагаются в каждом углу основного поля. Его размер должен быть n/4. Эти области отмечены буквами A, B, C и D в направлении против часовой стрелки. Размер промежуточных элементов зависит от размера исходного квадрата:
- Если длина стороны равна 4 ячейкам, промежуточные области будут по 1 ячейке.
- В квадрате 8×8 эти площади включают 4 элемента (2×2).
- В квадрате 12х12 может быть 3х3 промежуточных фигуры.
Следующим шагом будет создание центрального, центрального квадрата. Размер его стороны должен быть n/2. Эта фигура не должна перекрывать периферийные фигуры, но в то же время касаться их по углам.
Затем цифры вписываются в квадрат слева направо. Их можно размещать только в свободных ячейках, входящих в состав промежуточных зон. Например, при заполнении таблицы 4×4 порядок будет таким:
- В первой строке сверху и в первом столбце слева введите 1. В верхней ячейке четвертого столбца введите 4.
- Цифры 6 и 7 располагаются посередине второй горизонтальной линии.
- В четвертом ряду напишите 13 слева и 16 справа.
По такому же принципу заполните остальные ячейки числами. Номера перечислены слева в порядке убывания. Если все сделано правильно, сумма всех чисел в любой строке будет одинаковой.
